Cili është kufiri i një funksioni

Në këtë botim, ne do të shqyrtojmë një nga konceptet kryesore të analizës matematikore - kufirin e një funksioni: përkufizimin e tij, si dhe zgjidhje të ndryshme me shembuj praktikë.

Përcaktimi i kufirit të një funksioni

Kufiri i funksionit – vlera në të cilën priret vlera e këtij funksioni kur argumenti i tij tenton në pikën kufizuese.

Regjistrimi i limitit:

• kufiri tregohet nga ikona gëlqere;
• më poshtë shtohet se në çfarë vlere tenton argumenti (ndryshorja) e funksionit. Zakonisht kjo x, por jo domosdoshmërisht, për shembull:x→ 1″;
• atëherë vetë funksioni shtohet në të djathtë, për shembull:

  

Kështu, rekordi përfundimtar i kufirit duket kështu (në rastin tonë):

Lexohet si "kufiri i funksionit pasi x priret drejt unitetit".

x→ 1 - kjo do të thotë që "x" vazhdimisht merr vlera që i afrohen pafundësisht unitetit, por kurrë nuk do të përkojnë me të (nuk do të arrihet).

Kufijtë e vendimit

Me një numër të dhënë

Le të zgjidhim kufirin e mësipërm. Për ta bërë këtë, thjesht zëvendësoni njësinë në funksion (sepse x→1):

Kështu, për të zgjidhur kufirin, së pari përpiqemi thjesht të zëvendësojmë numrin e dhënë në funksionin poshtë tij (nëse x tenton në një numër specifik).

Me pafundësi

Në këtë rast, argumenti i funksionit rritet pafundësisht, d.m.th. "X" priret në pafundësi (∞). Për shembull:

If x→∞, atëherë funksioni i dhënë tenton në minus pafundësi (-∞), sepse:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 etj.

Një shembull tjetër më kompleks

Për të zgjidhur këtë kufi, thjesht rritni vlerat x dhe shikoni “sjelljen” e funksionit në këtë rast.

• RdzhSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RdzhSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 - 6 = 124
• RdzhSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 - 6 = 10294

Kështu, për "X"duke u prirë në pafundësi, funksioni x² +3x –6 rritet pafundësisht.

Me pasiguri (x tenton në pafundësi)

Në këtë rast, bëhet fjalë për kufij, kur funksioni është një thyesë, numëruesi dhe emëruesi i të cilit janë polinome. ku "X" priret në pafundësi.

Shembull: le të llogarisim kufirin më poshtë.

Zgjidhje

Shprehjet si në numërues ashtu edhe në emërues priren në pafundësi. Mund të supozohet se në këtë rast zgjidhja do të jetë si më poshtë:

Megjithatë, jo gjithçka kaq e thjeshtë. Për të zgjidhur kufirin, duhet të bëjmë sa më poshtë:

1. Gjeni x në fuqinë më të lartë për numëruesin (në rastin tonë, është dy).

2. Në mënyrë të ngjashme, ne përcaktojmë x në fuqinë më të lartë për emëruesin (gjithashtu është i barabartë me dy).

3. Tani e ndajmë edhe numëruesin edhe emëruesin me x në diplomë të lartë. Në rastin tonë, në të dyja rastet - në të dytin, por nëse do të ishin të ndryshme, ne duhet të merrnim shkallën më të lartë.

4. Në rezultatin që rezulton, të gjitha thyesat priren në zero, prandaj përgjigja është 1/2.

Me pasiguri (x tenton në një numër specifik)

Si numëruesi ashtu edhe emëruesi janë polinome, megjithatë, "X" priret në një numër specifik, jo në pafundësi.

Në këtë rast, ne mbyllim sytë me kusht për faktin se emëruesi është zero.

Shembull: Le të gjejmë kufirin e funksionit më poshtë.

Zgjidhje

1. Së pari, le të zëvendësojmë numrin 1 në funksion, të cilit "X". Marrim pasigurinë e formës që po shqyrtojmë.

2. Më pas, ne zbërthejmë numëruesin dhe emëruesin në faktorë. Për ta bërë këtë, mund të përdorni formulat e shkurtuara të shumëzimit, nëse ato janë të përshtatshme, ose.

Në rastin tonë, rrënjët e shprehjes në numërues (2x² - 5x + 3 = 0) janë numrat 1 dhe 1,5. Prandaj, mund të përfaqësohet si: 2(x-1)(x-1,5).

Emëruesi (x–1) fillimisht është e thjeshtë.

3. Ne marrim një kufi të tillë të modifikuar:

4. Pjesa mund të reduktohet me (x–1):

5. Mbetet vetëm për të zëvendësuar numrin 1 në shprehjen e marrë nën kufirin: