Në këtë botim, ne do të shqyrtojmë se çfarë është metoda Gaussian, pse është e nevojshme dhe cili është parimi i saj. Ne do të demonstrojmë gjithashtu duke përdorur një shembull praktik se si metoda mund të zbatohet për të zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare.
Përshkrimi i metodës së Gausit
Metoda e Gausit është metoda klasike e eliminimit sekuencial të variablave që përdoret për të zgjidhur . Është emëruar pas matematikanit gjerman Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Por së pari, le të kujtojmë se SLAU mund:
- keni një zgjidhje të vetme;
- kanë një numër të pafund zgjidhjesh;
- të jetë i papajtueshëm, dmth. nuk ka zgjidhje.
Përfitimet praktike
Metoda e Gausit është një mënyrë e shkëlqyer për të zgjidhur një SLAE që përfshin më shumë se tre ekuacione lineare, si dhe sisteme që nuk janë katrore.
Parimi i metodës së Gausit
Metoda përfshin hapat e mëposhtëm:
- drejt – matrica e shtuar që korrespondon me sistemin e ekuacioneve, zvogëlohet nga rruga sipër rreshtave në formën e sipërme trekëndore (shkallë), dmth nën diagonalen kryesore duhet të jenë vetëm elementë të barabartë me zero.
- prapa – në matricën që rezulton, elementët mbi diagonalen kryesore vendosen gjithashtu në zero (pamje trekëndore më e ulët).
Shembull i zgjidhjes SLAE
Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve lineare më poshtë duke përdorur metodën e Gausit.
Zgjidhje
1. Për të filluar, ne paraqesim SLAE në formën e një matrice të zgjeruar.
2. Tani detyra jonë është të rivendosim të gjithë elementët nën diagonalen kryesore. Veprimet e mëtejshme varen nga matrica specifike, më poshtë do të përshkruajmë ato që vlejnë për rastin tonë. Së pari, ne ndërrojmë rreshtat, duke vendosur kështu elementët e tyre të parë në rend rritës.
3. Zbrisni nga rreshti i dytë dy herë i pari, dhe nga i treti - trefishoni të parën.
4. Shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e tretë.
5. Zbrisni rreshtin e dytë nga rreshti i parë, dhe në të njëjtën kohë ndajeni rreshtin e tretë me -10.
6. Ka përfunduar faza e parë. Tani duhet të marrim elementët null mbi diagonalen kryesore. Për ta bërë këtë, zbritni të tretën shumëzuar me 7 nga rreshti i parë dhe shtoni të tretën shumëzuar me 5 në të dytin.
7. Matrica përfundimtare e zgjeruar duket kështu:
8. I përgjigjet sistemit të ekuacioneve:
Përgjigje: rrënjë SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.