Nxjerrja e rrënjës së një numri kompleks

Në këtë botim, ne do të shikojmë se si mund të merrni rrënjën e një numri kompleks, dhe gjithashtu se si kjo mund të ndihmojë në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, diskriminimi i të cilave është më i vogël se zero.

Nxjerrja e rrënjës së një numri kompleks

Rrenja katrore

Siç e dimë, është e pamundur të merret rrënja e një numri real negativ. Por kur bëhet fjalë për numra kompleks, ky veprim mund të kryhet. Le ta kuptojmë.

Le të themi se kemi një numër z = -9. Për √-9 ka dy rrënjë:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Le të kontrollojmë rezultatet e marra duke zgjidhur ekuacionin z² =-9, pa harruar se i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Kështu e kemi vërtetuar -3i и 3i janë rrënjë √-9.

Rrënja e një numri negativ zakonisht shkruhet kështu:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i etj.

Rrënja në fuqinë e n

Supozoni se na janë dhënë ekuacionet e formës z = ⁿ√w… Ka n rrënjët (z₀, I₁, I₂,…, z_n-1), e cila mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

|w| është moduli i një numri kompleks w;

φ – argumenti i tij

k është një parametër që merr vlerat: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Ekuacionet kuadratike me rrënjë komplekse

Nxjerrja e rrënjës së një numri negativ ndryshon idenë e zakonshme të uXNUMXbuXNUMXb. Nëse diskriminuesi (D) është më e vogël se zero, atëherë nuk mund të ketë rrënjë reale, por ato mund të paraqiten si numra kompleks.

Shembull

Le të zgjidhim ekuacionin x² - 8x + 20 = 0.

Zgjidhje

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D <0, por ne ende mund të marrim rrënjën e diskriminuesit negativ:

√D = √-16 = ±4i

Tani mund të llogarisim rrënjët:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Prandaj, ekuacioni x² - 8x + 20 = 0 ka dy rrënjë komplekse të konjuguara:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i