Ngritja e një numri kompleks në një fuqi natyrore

Në këtë botim, ne do të shqyrtojmë se si një numër kompleks mund të rritet në një fuqi (duke përfshirë përdorimin e formulës De Moivre). Materiali teorik shoqërohet me shembuj për të kuptuar më mirë.

Ngritja e një numri kompleks në një fuqi

Së pari, mbani mend se një numër kompleks ka formën e përgjithshme: z = a + bi (formë algjebrike).

Tani mund të vazhdojmë drejtpërdrejt në zgjidhjen e problemit.

Numri katror

Ne mund ta paraqesim shkallën si produkt i të njëjtëve faktorë dhe më pas të gjejmë produktin e tyre (duke e kujtuar atë i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

1 Shembull:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Ju gjithashtu mund të përdorni, përkatësisht katrorin e shumës:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Shënim: Në të njëjtën mënyrë, nëse është e nevojshme, mund të merren formula për katrorin e diferencës, kubin e shumës / diferencës, etj.

Shkalla e N-të

Ngrini një numër kompleks z ne miresi n shumë më lehtë nëse paraqitet në formë trigonometrike.

Kujtoni që, në përgjithësi, shënimi i një numri duket si ky: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Për fuqizim, mund të përdorni Formula e De Moivre (e quajtur kështu sipas matematikanit anglez Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formula fitohet duke shkruar në formë trigonometrike (modulet shumëzohen dhe argumentet shtohen).

Shembull 2

Ngrini një numër kompleks z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) deri në shkallën e tetë.

Zgjidhje

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin (8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).