Përmbajtje
Në këtë botim, ne do të shqyrtojmë përkufizimin e rangut të një matrice, si dhe metodat me të cilat mund të gjendet. Ne gjithashtu do të analizojmë shembuj për të demonstruar zbatimin e teorisë në praktikë.
Përcaktimi i rangut të një matrice
Rangu i matricës është rangu i sistemit të tij të rreshtave ose kolonave. Çdo matricë ka radhët e saj të rreshtave dhe kolonave, të cilat janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Renditja e sistemit të rreshtave është numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur. Rangu i sistemit të kolonës përcaktohet në mënyrë të ngjashme.
Shënime:
- Renditja e matricës zero (e shënuar me simbolin "θ“) e çdo madhësie është zero.
- Rangu i çdo vektori të rreshtit ose kolonës jozero është i barabartë me një.
- Nëse një matricë e çdo madhësie përmban të paktën një element që nuk është i barabartë me zero, atëherë renditja e saj nuk është më pak se një.
- Renditja e një matrice nuk është më e madhe se dimensioni i saj minimal.
- Transformimet elementare të kryera në një matricë nuk e ndryshojnë renditjen e saj.
Gjetja e renditjes së një matrice
Metoda e vogël e fringimit
Rangu i një matrice është i barabartë me rendin maksimal të një jozero.
Algoritmi është si më poshtë: gjeni të miturit nga urdhrat më të ulët deri tek ato më të lartat. Nëse të vogla nrendi i th nuk eshte i barabarte me zero, dhe te gjitha pasueset (n+1) janë të barabarta me 0, kështu që rangu i matricës është n.
Shembull
Për ta bërë më të qartë, le të marrim një shembull praktik dhe të gjejmë rangun e matricës A më poshtë, duke përdorur metodën e kufirit të të miturve.
Zgjidhje
Kemi të bëjmë me një matricë 4 × 4, prandaj, rangu i saj nuk mund të jetë më i lartë se 4. Gjithashtu, në matricë ka elementë jo zero, që do të thotë se rangu i saj nuk është më i vogël se një. Pra, le të fillojmë:
1. Filloni të kontrolloni të mitur të rendit të dytë. Për të filluar, marrim dy rreshta të kolonës së parë dhe të dytë.
Minor është baraz me zero.
Prandaj, kalojmë në minorin tjetër (kolona e parë mbetet, dhe në vend të së dytës marrim të tretën).
Minorja është 54≠0, kështu që renditja e matricës është të paktën dy.
Shënim: Nëse ky minor doli të jetë i barabartë me zero, ne do të kontrollonim më tej kombinimet e mëposhtme:
Nëse kërkohet, numërimi mund të vazhdohet në të njëjtën mënyrë me vargje:
- 1 dhe 3;
- 1 dhe 4;
- 2 dhe 3;
- 2 dhe 4;
- 3 dhe 4.
Nëse të gjitha minoret e rendit të dytë ishin të barabarta me zero, atëherë rangu i matricës do të ishte i barabartë me një.
2. Arritëm pothuajse menjëherë të gjenim një të mitur që na përshtatet. Pra, le të kalojmë në të mitur të rendit të tretë.
Në minorin e gjetur të rendit të dytë, i cili dha një rezultat jo zero, shtojmë një rresht dhe një nga kolonat e theksuara me të gjelbër (fillojmë nga e dyta).
I mituri rezultoi zero.
Prandaj, ne e ndryshojmë kolonën e dytë në të katërtën. Dhe në përpjekjen e dytë, ne arrijmë të gjejmë një minor që nuk është i barabartë me zero, që do të thotë se rangu i matricës nuk mund të jetë më i vogël se 3.
Shënim: nëse rezultati do të ishte përsëri zero, në vend të rreshtit të dytë, ne do ta çonim të katërtin më tej dhe do të vazhdonim kërkimin për një të mitur "të mirë".
3. Tani mbetet për të përcaktuar të mitur të rendit të katërt bazuar në atë që u gjet më herët. Në këtë rast, është ai që përputhet me përcaktuesin e matricës.
Minor është i barabartë me 144≠0. Kjo do të thotë se rangu i matricës A barabartë me 4.
Reduktimi i një matrice në një formë të shkallëzuar
Renditja e një matrice hapi është e barabartë me numrin e rreshtave të saj jo zero. Kjo do të thotë, gjithçka që duhet të bëjmë është ta sjellim matricën në formën e duhur, për shembull, duke përdorur , e cila, siç e përmendëm më lart, nuk e ndryshon renditjen e saj.
Shembull
Gjeni gradën e një matrice B më poshtë. Ne nuk marrim një shembull tepër kompleks, sepse qëllimi ynë kryesor është thjesht të demonstrojmë zbatimin e metodës në praktikë.
Zgjidhje
1. Së pari, zbritni dyfishin e parë nga rreshti i dytë.
2. Tani zbritni rreshtin e parë nga rreshti i tretë, shumëzuar me katër.
Kështu, ne morëm një matricë hapash në të cilën numri i rreshtave jo zero është i barabartë me dy, prandaj renditja e saj është gjithashtu e barabartë me 2.