Në këtë botim, ne do të shqyrtojmë një nga teoremat kryesore të gjeometrisë Euklidiane - teorema e Stewart, e cila mori një emër të tillë për nder të matematikanit anglez M. Stewart, i cili e vërtetoi atë. Ne gjithashtu do të analizojmë në detaje një shembull të zgjidhjes së problemit për të konsoliduar materialin e paraqitur.
Deklarata e teoremës
Trekëndëshi i Danit ABC. Në krah të tij AC pika e marrë D, e cila është e lidhur me pjesën e sipërme B. Ne pranojmë shënimin e mëposhtëm:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = dhe
Për këtë trekëndësh, barazia është e vërtetë:
Zbatimi i teoremës
Nga teorema e Stewart-it, mund të nxirren formula për gjetjen e medianave dhe përgjysmuesve të një trekëndëshi:
1. Gjatësia e përgjysmuesit
Le të lc është përgjysmuesja e tërhequr anash c, e cila është e ndarë në segmente x и y. Le të marrim dy brinjët e tjera të trekëndëshit si a и b… Në këtë rast:
2. Gjatësia mesatare
Le të mc është medianaja e kthyer poshtë anash c. Le t'i shënojmë dy brinjët e tjera të trekëndëshit si a и b… Pastaj:
Shembull i një problemi
Trekëndëshi i dhënë ABC Në anën AC e barabartë me 9 cm, pika e marrë D, e cila ndan anën në mënyrë që AD dy herë më shumë DC. Gjatësia e segmentit që lidh kulmin B dhe pikë D, është 5 cm. Në këtë rast, trekëndëshi i formuar SHBA është dykëndësh. Gjeni anët e mbetura të trekëndëshit ABC.
Zgjidhje
Le të përshkruajmë kushtet e problemit në formën e një vizatimi.
AC = AD + DC = 9 cm. AD më shumë DC dy herë, dmth AD = 2DC.
Si pasojë, 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Kështu që, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Sepse trekëndëshi SHBA – isosceles, dhe anash AD është 6 cm, pra janë të barabarta AB и BDIe AB = 5 cm.
Mbetet vetëm për të gjetur BC, duke nxjerrë formulën nga teorema e Stewart:
Ne zëvendësojmë vlerat e njohura në këtë shprehje:
Në këtë mënyrë, BC = √52 ≈ 7,21 cm.