Sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare

Në këtë botim, ne do të shqyrtojmë përkufizimin e një sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE), si duket, çfarë llojesh ekzistojnë, dhe gjithashtu si ta paraqesim atë në një formë matrice, duke përfshirë një të zgjeruar.

Përkufizimi i një sistemi ekuacionesh lineare

Sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare (ose shkurt "SLAU") është një sistem që në përgjithësi duket kështu:

• m është numri i ekuacioneve;
• n është numri i variablave.
• x₁, x₂,…, x_n – e panjohur;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – koeficientët për të panjohurat;
• b₁, b₂,…, b_m – anëtarë të lirë.

Indekset e koeficientit (a_ij) janë formuar si më poshtë:

• i është numri i ekuacionit linear;
• j është numri i variablit të cilit i referohet koeficienti.

Zgjidhja SLAU - numra të tillë c₁, C₂,…, c_n , në vendosjen e së cilës në vend të x₁, x₂,…, x_n, të gjitha ekuacionet e sistemit do të kthehen në identitete.

Llojet e SLAU

1. homogjen - të gjithë anëtarët e lirë të sistemit janë të barabartë me zero (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogjene – nëse nuk plotësohet kushti i mësipërm.
3. Katror – numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave, dmth m = n.

   

4. E nënpërcaktuar – numri i të panjohurave është më i madh se numri i ekuacioneve.

   

5. i tejkaluar Ka më shumë ekuacione sesa variabla.

   

Në varësi të numrit të zgjidhjeve, SLAE mund të jetë:

1. I përbashkët ka të paktën një zgjidhje. Për më tepër, nëse është unik, sistemi quhet i caktuar, nëse ka disa zgjidhje, quhet i pacaktuar.

   

   SLAE e mësipërme është e përbashkët, sepse ka të paktën një zgjidhje: x = 2, y = 3.

2. i papajtueshëm Sistemi nuk ka zgjidhje.

   

   Anët e djathta të ekuacioneve janë të njëjta, por ato të majta jo. Kështu, nuk ka zgjidhje.

Shënimi matricë i sistemit

SLAE mund të përfaqësohet në formën e matricës:

AX = B

• A është matrica e formuar nga koeficientët e të panjohurave:

  

• X – kolona e variablave:

  

• B – kolona e anëtarëve të lirë:

  

Shembull

Ne paraqesim sistemin e ekuacioneve më poshtë në formën e matricës:

Duke përdorur format e mësipërme, ne hartojmë matricën kryesore me koeficientë, kolona me anëtarë të panjohur dhe të lirë.

Regjistrimi i plotë i sistemit të dhënë të ekuacioneve në formën e matricës:

Matrica e zgjeruar SLAE

Nëse në matricën e sistemit A shtoni kolonën e anëtarëve të lirë në të djathtë B, duke i ndarë të dhënat me një shirit vertikal, ju merrni një matricë të zgjeruar të SLAE.

Për shembullin e mësipërm, duket kështu:

– përcaktimi i matricës së zgjeruar.