Teorema e vogël e Fermatit

Në këtë botim, ne do të shqyrtojmë një nga teoremat kryesore në teorinë e numrave të plotë -  Teorema e vogël e Fermatitemëruar pas matematikanit francez Pierre de Fermat. Ne gjithashtu do të analizojmë një shembull të zgjidhjes së problemit për të konsoliduar materialin e paraqitur.

Deklarata e teoremës

1. Fillestar

If p është një numër i thjeshtë a është një numër i plotë që nuk pjesëtohet me ppastaj a^p-1 - 1 e ndarë nga p.

Është shkruar zyrtarisht kështu: a^p-1 ≡ 1 (kundër p).

Shënim: Një numër i thjeshtë është një numër natyror që pjesëtohet vetëm me XNUMX dhe vetveten pa mbetje.

Për shembull:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• numër 15 e ndarë nga 5 pa mbetje.

2. Alternativa

If p është një numër i thjeshtë, a atëherë çdo numër i plotë a^p të krahasueshme me a modulo p.

a^p ≡ a (kundër p)

Historia e gjetjes së provave

Pierre de Fermat formuloi teoremën në 1640, por nuk e vërtetoi vetë. Më vonë, kjo u bë nga Gottfried Wilhelm Leibniz, një filozof, logjik, matematikan gjerman, etj. Besohet se ai e kishte tashmë provën në vitin 1683, megjithëse nuk u botua kurrë. Vlen të përmendet se Leibniz e zbuloi vetë teoremën, duke mos ditur se ajo ishte formuluar tashmë më herët.

Prova e parë e teoremës u botua në 1736 dhe i përket zviceranit, gjermanit dhe matematikanit dhe mekanikut, Leonhard Euler. Teorema e vogël e Fermatit është një rast i veçantë i teoremës së Euler-it.

Shembull i një problemi

Gjeni pjesën e mbetur të një numri 2¹² on 12.

Zgjidhje

Le të imagjinojmë një numër 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 është një numër i thjeshtë, prandaj, nga teorema e vogël e Fermatit marrim:

2¹¹ ≡ 2 (kundër 11).

Prandaj, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (kundër 11).

Pra numri 2¹² e ndarë nga 12 me një mbetje të barabartë me 4.