Karakteristikat e lartësisë së një trekëndëshi kënddrejtë

Në këtë botim, ne do të shqyrtojmë vetitë kryesore të lartësisë në një trekëndësh kënddrejtë, dhe gjithashtu do të analizojmë shembuj të zgjidhjes së problemeve në këtë temë.

Shënim: quhet trekëndëshi drejtkëndor, nëse njëri nga këndet e tij është i drejtë (baraz me 90°) dhe dy të tjerët janë akute (<90°).

Vetitë e lartësisë në një trekëndësh kënddrejtë

Pronë 1

Një trekëndësh kënddrejtë ka dy lartësi (h₁ и h₂) përkojnë me këmbët e saj.

lartësia e tretë (h₃) zbret në hipotenuzë nga këndi i drejtë.

Pronë 2

Ortoqendra (pika e prerjes së lartësive) e një trekëndëshi kënddrejtë është në kulmin e këndit të drejtë.

Pronë 3

Lartësia në një trekëndësh kënddrejtë të tërhequr në hipotenuzë e ndan atë në dy trekëndësha kënddrejtë të ngjashëm, të cilët janë gjithashtu të ngjashëm me atë origjinal.

1. △SHBA ~ △ABC në dy kënde të barabarta: ∠ADB = ∠LAC (vijat e drejta), ∠SHBA = ∠ABC

2. △ADC ~ △ABC në dy kënde të barabarta: ∠ADC = ∠LAC (vijat e drejta), ∠CDA = ∠ACB.

3. △SHBA ~ △ADC në dy kënde të barabarta: ∠SHBA = ∠DAC, ∠KEQ = ∠CDA.

dëshmi: ∠KEQ = 90° – ∠ABD (ABC). Në të njëjtën kohë ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Prandaj, ∠KEQ = ∠CDA.

Në mënyrë të ngjashme mund të vërtetohet se ∠SHBA = ∠DAC.

Pronë 4

Në një trekëndësh kënddrejtë, lartësia e tërhequr në hipotenuzë llogaritet si më poshtë:

1. Nëpër segmente në hipotenuzë, i formuar si rezultat i ndarjes së tij me bazën e lartësisë:

2. Përmes gjatësive të brinjëve të trekëndëshit:

Kjo formulë rrjedh nga Vetitë e sinusit të një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë (sinusi i këndit është i barabartë me raportin e këmbës së kundërt me hipotenuzën):

Shënim: për një trekëndësh kënddrejtë, vlejnë edhe vetitë e përgjithshme të lartësisë të paraqitura në botimin tonë.

Shembull i një problemi

Detyra 1

Hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë ndahet me lartësinë e tërhequr drejt tij në segmente 5 dhe 13 cm. Gjeni gjatësinë e kësaj lartësie.

Zgjidhje

Le të përdorim formulën e parë të paraqitur në Pronë 4:

Detyra 2

Këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë janë 9 dhe 12 cm. Gjeni gjatësinë e lartësisë së tërhequr në hipotenuzë.

Zgjidhje

Së pari, le të gjejmë gjatësinë e hipotenuzës së bashku (le të jenë këmbët e trekëndëshit "te" и "B", dhe hipotenuza është "vs"):

c² = A² b² = 9² + 12² = 225.

Si pasojë, с = 15 cm.

Tani mund të aplikojmë formulën e dytë nga Vetitë 4diskutuar më lart: