Në këtë botim, ne do të shqyrtojmë një nga teoremat klasike të gjeometrisë afine - teorema Ceva, e cila mori një emër të tillë për nder të inxhinierit italian Giovanni Ceva. Ne gjithashtu do të analizojmë një shembull të zgjidhjes së problemit në mënyrë që të konsolidojmë materialin e paraqitur.
Deklarata e teoremës
Trekëndëshi i dhënë ABC, në të cilën çdo kulm është i lidhur me një pikë në anën e kundërt.
Kështu, marrim tre segmente (AA', BB' и CC'), të cilat quhen cevianët.
Këto segmente kryqëzohen në një pikë nëse dhe vetëm nëse barazia e mëposhtme vlen:
|DHE'| |JO'| |CB'| = |BC'| |SHIFT'| |AB'|
Teorema mund të paraqitet edhe në këtë formë (përcaktohet në çfarë raporti pikat ndajnë anët):
Teorema trigonometrike e Cevës
Shënim: të gjitha qoshet janë të orientuara.
Shembull i një problemi
Trekëndëshi i dhënë ABC me pika TE', B' и VS' në anët BC, AC и AB, respektivisht. Kulmet e trekëndëshit lidhen me pikat e dhëna, dhe segmentet e formuara kalojnë nëpër një pikë. Në të njëjtën kohë, pikat TE' и B' marrë në mesin e anëve të kundërta përkatëse. Zbuloni në çfarë raporti është pika VS' ndan anën AB.
Zgjidhje
Le të vizatojmë një vizatim sipas kushteve të problemit. Për lehtësinë tonë, ne miratojmë shënimin e mëposhtëm:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Mbetet vetëm për të kompozuar raportin e segmenteve sipas teoremës Ceva dhe për të zëvendësuar shënimin e pranuar në të:
Pas zvogëlimit të thyesave, marrim:
Prandaj, AC' = C'B, dmth pikë VS' ndan anën AB në gjysmë.
Prandaj, në trekëndëshin tonë, segmentet AA', BB' и CC' janë mediane. Pasi zgjidhëm problemin, vërtetuam se ato kryqëzohen në një pikë (e vlefshme për çdo trekëndësh).
Shënim: duke përdorur teoremën e Cevës, mund të vërtetohet se në një trekëndësh në një pikë kryqëzohen edhe përgjysmorët ose lartësitë.